Esempio 1.4

Eseguire per punti, nell’intervallo di tempo di un periodo, il grafico della tensione sinusoidale v(t) = 2sen(251t + /8).

Soluzione

La pulsazione del segnale è = 251 rad/s, e pertanto il suo periodo vale T = 2/ = 0,025 s = 25 ms. E’ possibile quindi costruire una tabella di punti ad intervalli di 1 ms, inserendo nell’espressione della funzione valori di t pari a 0 - 0,001 - 0,002 - ..., ottenendo v(0) = 0,765, v(1) = 1,20, v(2) = 1,56, etc. Unendo i punti si ottiene il grafico rappresentato nel riquadro sottostante.

Definizione del vettore t a 26 valori partendo da 0 sino a 25 ms con passo di 1 ms (0 - 0,001 - 0,002 - ... - 0,025 s)	t=0:.001:.025;
Definizione del vettore v = 2sen(251t + /8)	v=2*sin(251*t+pi/8);
Esecuzione del grafico t - v	plot(t,v)
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('t (s)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('v (V)')
Inserimento del titolo	title('Esempio 1.4')

Tab. 1

Esempio 1.6

Eseguire su uno stesso piano il grafico di due segnali sinusoidali in quadratura di fase a frequenza f = 2 kHz. Determinare lo spostamento temporale tra i due segnali.

Soluzione

Due segnali sono in quadratura di fase quando lo sfasamento reciproco è pari a /2. Una possibile scelta dei valori di fase iniziale è ₁ = 0, ₂ = /2. Lo spostamento temporale è pari a t₁₂ = (0 - /2)/(2 · 2 · 10³) = - 0,125 ms (v₁ in ritardo su v₂).

Il periodo dei segnali è T = 1/f = 0,5 ms. Pertanto si può definire il vettore t, direttamente in ms, assegnando valori da 0 a 0,5 con passo 0,001	t=0:.001:.5;
Definizione del vettore v1 = sen(2 · 2000 · t). Poiché i valori di t sono espressi in millisecondi, e sono quindi 103 volte più grandi di quanto dovrebbero, si deve dividere la pulsazione per 103 e pertanto si ottiene v1 = sen[4 · t(ms)]	v1=sin(4*pi*t);
Definizione del vettore v2 = sen(2 · 2000 · t + /2)	v2=sin(4*pi*t+pi/2);
Esecuzione sullo stesso piano dei grafici t - v1 e t - v2	plot(t,v1,t,v2)
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('t (ms)')
Inserimento del titolo	title('Esempio 1.6')
Posizionamento di testo mediante mouse	gtext('v1(t)')
Posizionamento di testo mediante mouse	gtext('v2(t)')

Tab. 2

Esempio 1.8

Determinare un’espressione analitica per il primo ciclo della corrente periodica a 100 Hz rappresentata in fig. 1.25.

Fig. 1.25 - Esempio 1.8.

Soluzione

Il periodo del segnale è pari a T = 1/f = 10 ms. Scegliamo di rappresentare il ciclo indicato, che va da 0 a T, esprimendo il tempo in millisecondi (ms) e la corrente in milliampère (mA). Dall’origine al punto (5; 2) il segnale ha un andamento lineare rappresentato dall’espressione i_l = (2/5)t. Mentre l’andamento per t < 0 non interessa il nostro studio, osserviamo che in T/2 = 5 ms la forma d’onda cambia, ed è pertanto necessario moltiplicare i_l per un gradino di ampiezza unitaria che commuta verso il basso in T/2 = 5 ms, ottenendo i₁ = (2/5)t · [1 - u(t - 5)]. Sommando ora a i₁un gradino di ampiezza 2 che commuta verso l’alto in T/2 = 5 ms si ottiene l’espressione finale: i(t) = (2/5)t · [1 - u(t - 5)] + 2u(t - 5); i relativi grafici sono rappresentati nel riquadro sottostante.

Tab. 3

Nota: il codice gira su MATLAB 4 ma bisogna trasportarvi in un percorso riconosciuto il file stepfun.m.

La funzione stepfun(t,t0)restituisce un vettore della stessa lunghezza di ti cui elementi sono pari a zero se il corrispondente elemento di tè minore di t0, a uno altrimenti:

t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
stepfun(t, 8) <Invio>
ans =
    0    0    0    0    0    0    0    1    1    1

Esempio sul valore medio di una funzione

Determinare il valore medio della funzione v(t) = sen(4t) · cost · (1 - 0,4t) + 1 nell'intervallo 0 ÷ 16 dapprima su 8 punti, poi su 16.000 punti.

Tab. 4

Esempio 1.10

Determinare per punti il valore medio dei segnali rappresentati in fig. 1.29a e b.

Fig. 1.29 - Sinusoide raddrizzata (a) a doppia semionda e (b) a una semionda.

Soluzione

Nel primo caso è sufficiente determinare la media della funzione sent nel primo semiperiodo, ottenendo (vedi riquadro sottostante) <v₁> = 0,6366 V. Nel secondo caso la media del secondo semiperiodo del segnale è nulla, pertanto si ha <v₂> = (<v₁> + 0)/2 = 0,3183 V. Il valore medio esatto dei segnali considerati, calcolato con metodi analitici, è pari rispettivamente a 2V/ e V/, essendo V il valore massimo del segnale.

Definizione del vettore t a 16.000 valori tra 0 e	t=linspace(0,pi,16000);
Calcolo del valore medio degli elementi del vettore sent	mean(sin(t))
Output	ans =     0.6366

Tab. 5

Esempio 1.11

Calcolare il v.q.m. e il v.e. della corrente rappresentata in fig. 1.25.

Soluzione

L’intervallo di riferimento scelto è 0 - T. Nel primo semiperiodo il segnale ha un andamento lineare rappresentato dall’espressione i_l = (2/5)t, quindi per ottenere il v.q.m. è necessario eseguire una media per punti della funzione i_l² = (4/25)t² nell’intervallo 0 - 5 ms; il risultato (vedi riquadro sottostante) è pari a 1,3334 mA². Nel secondo semiperiodo l’andamento è costante, per cui il v.q.m. è pari a 4 mA². Il v.q.m. del segnale è pari alla media dei valori calcolati nei due semiperiodi: I_q = (1,3334 + 4)/2 = 2,6667 mA². Il v.e. è quindi pari a .

Tab. 6