Tracciare i diagrammi di Bode di un filtro passa-basso il cui guadagno complesso è

Determinare l’ordine del filtro e il valore della frequenza di taglio.

Soluzione

I diagrammi di Bode si ottengono rappresentando graficamente su scala delle frequenze logaritmica le funzioni 20logA_V e arg(_V). Dal primo dei due diagrammi si desume che il filtro è del 1° ordine, dato che la pendenza della curva è pari a 20 dB/decade. Alle basse frequenze si ha A_V0 = 0,8; risolvendo l’equazione A_V(f) = 0,8/si determina la frequenza di taglio del filtro, pari a f₀ = 100 Hz.

Definizione del vettore f a 50 valori logaritmicamente spaziati tra 10 e 106	f=logspace(1,6);
Definizione del vettore complesso 8.2 (in MATLAB ie j sono variabili predefinite come unità immaginarie)	A=.8*(1+i*.0001*f)./(1+i*.01*f);
Suddivisione della figura in due finestre e selezione della finestra 1	subplot(2,1,1)
Esecuzione del grafico su scala orizzontale logaritmica f - AV(dB)	semilogx(f,20*log10(abs(A)))
Visualizzazione della griglia	grid
Inserimento del titolo	title('Esempio 8.1')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('|Av| (dB)')
Selezione della finestra 2	subplot(2,1,2)
Esecuzione del grafico su scala orizzontale logaritmica f -	semilogx(f,angle(A))
Visualizzazione della griglia	grid
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('f (Hz)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('arg(Av) (rad)')
Calcolo della frequenza di taglio del filtro	solve('.8*sqrt(1+(.0001*f)^2)/ sqrt(1+(.01*f)^2)=.8/sqrt(2)') (tutto di seguito)
Output	ans = [ -100.01000150025004375787644401818] [  100.01000150025004375787644401818]

Tab. 1

Dimensionare un filtro RC passa-basso avente un guadagno costante fino a 100 kHz entro un margine del 5%.

Soluzione

Poiché alle basse frequenze il guadagno è pari a 1, per rispettare il margine indicato si deve avere un guadagno a 100 kHz pari a 0,95. Imponendo

e risolvendo l’equazione si ottiene f₀ = 304 kHz. Scegliendo arbitrariamente C = 1 nF, la frequenza di taglio desiderata si ottiene con una resistenza R tale che 304 · 103 = 1/(2R · 10^-9) da cui R = 1/(2 · 304 · 103 · 10^-9) = 524 .

Tab. 2

Tramite due filtri RC in cascata, il primo di tipo passa-basso, il secondo di tipo passa-alto con frequenza di taglio inferiore a quella del primo, è possibile realizzare un filtro passa-banda (fig. 8.13). Il guadagno complessivo del filtro, pur essendo pari al prodotto dei guadagni parziali, non può essere ottenuto moltiplicando le espressioni 8.10 e 8.17, dato che la prima delle due è ottenuta a circuito aperto, mentre in questo caso il filtro passa-basso è chiuso sul secondo quadripolo che gli fa da carico; ciononostante, dallo studio che segue si può notare che il circuito si comporta, almeno qualitativamente, come se i due filtri non si influenzassero tra di loro; si noti il valore del guadagno a centro banda, pari a 0,5, ovvero -6 dB. Se si osserva il grafico da vicino nella sezione zoom si possono determinare i valori approssimativi delle frequenze di taglio, alle quali A_V è pari a -9dB: f₁ 80 Hz, f₂ 3 MHz.

Fig. 8.13 - Esempio 8.3.

Definizione del vettore f a 50 valori logaritmicamente spaziati tra 1 e 108	f=logspace(0,8);
Definizione di R	R=1000;
Definizione di C1	C1=1e-10;
Definizione di C2	C2=1e-6;
Definizione del vettore impedenza associato alla capacità C1	Z1=-i./(2*pi*f*C1);
Definizione del vettore impedenza associato alla capacità C2	Z2=-i./(2*pi*f*C2);
Definizione del vettore corrente 1 (la corrente 1, avendo posto i = 1, è pari a Si noti l’utilizzo della funzione par, definita nell’esempio 6.5	I1=1./(par(Z2+R,Z1)+R);
Definizione del vettore o, pari a Avendo posto i = 1, o coincide con V = o/i	Vo=I1*R.*Z1./(Z1+Z2+R);
Suddivisione della figura in due finestre e selezione della finestra 1	subplot(2,1,1)
Esecuzione del grafico su scala orizzontale logaritmica f - AV(dB)	semilogx(f,20*log10(abs(Vo)))
Visualizzazione della griglia	grid
Inserimento del titolo	title('Esempio 8.3')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('|Av| (dB)')
Selezione della finestra 2	subplot(2,1,2)
Esecuzione del grafico su scala orizzontale logaritmica f -	semilogx(f,angle(Vo))
Visualizzazione della griglia	grid
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('f (Hz)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('arg(Av) (rad)')
Attivazione dello zoom sulla figura mediante mouse	zoom

Tab. 3

Il comando zoom attiva lo zoom-in e lo zoom-out su un grafico 2-D. Quando zoom è ON, cliccando sul grafico con il tasto sinistro (destro) del mouse si attiva lo zoom-in (zoom-out) della zona intorno al puntatore del mouse. Nota: la funzione zoom non è presente in MATLAB 4.