Volume 2

Unità didattica 1

Esempio 1.1

Calcolare, per le prime 5 armoniche, i coefficienti della serie unilatera di Fourier del segnale rappresentato in fig. 1.2. Rappresentare il segnale nel dominio della frequenza e verificare per sintesi la validità della soluzione.

Fig. 1.2 - Esempio 1.1.

Soluzione

Il termine A₀ rappresenta la componente continua, che risulta evidentemente pari a 0,5 V. Poiché la funzione v(t) è pari, i termini b_n sono nulli, mentre i termini a_n si possono calcolare con riferimento ad un solo semiperiodo (cfr. tab. 1.1). Scegliendo il semiperiodo che va da 0 a T/2, si deve determinare l’espressione di v(t) in tale intervallo; poiché la funzione è una retta passante per l’origine, deve essere v(t) = at dove a può essere determinato imponendo 1 = a · [(5 · 10^-3)/2], da cui a = 400 V/s. L’espressione per il calcolo dei coefficienti b_n è dunque

con ₀ = 2/T. Il calcolo può essere svolto analiticamente (nel caso si suggerisce di integrare per parti la 1.12) o, come evidenziato nel riquadro sottostante, con l’ausilio del software adeguato.

Definizione di T	T=5e-3;
Definizione di 0	w=2*pi/T;
Definizione della variabile simbolica t	syms t
Per n = 1, 2, ..., 5 calcolo dell’integrale 1.12. I risultati sono memorizzati nel vettore simbolico a	for n=1:5,  a(n)=int((1600/T).*t.*cos(n*w*t),0,T/2); end
Conversione del vettore simbolico a nel vettore in doppia precisione a2	a2=double(a);
Definizione del vettore An (in questo caso bn = 0)	A=abs(a2)
Output	A =     0.4053   0   0.0450   0   0.0162
Definizione del vettore n (in questo caso bn = 0). L’output della funzione atan2(an,bn) corrisponde all’applicazione dell’equazione	fi=atan2(a2,0)
Output	fi =    -1.5708   0   -1.5708   0   -1.5708
Definizione del vettore f = (f0, 2f0, ... , 5f0)	f=[1 2 3 4 5]*w/(2*pi);
Suddivisione della figura in due finestre e selezione della finestra 1	subplot(2,1,1)
Esecuzione del grafico f - An a barre di larghezza 0,04	bar(f,A,.04)
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('An (V)')
Inserimento del titolo	title('Esempio 1.1')
Selezione della finestra 2	subplot(2,1,2)
Esecuzione del grafico f - n a barre di larghezza 0,04	bar(f,fi,.04)
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('f (Hz)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('fn (rad)')
Definizione del vettore t con valori da 0 a 2T	t=0:.01e-3:2*T;
Assegnazione alla variabile v del valore pari alla componente continua	v=.5;
Per n = 1, 2, ..., 5 somma alla variabile v della n-sima armonica (si noti il significato di assegnazione dell’operatore <=>)	for n=1:5,     v=v+A(n)*sin(n*w.*t+fi(n)); end
Creazione di una nuova figura (altrimenti i grafici precedenti verrebbero sostituiti)	figure
Suddivisione della figura in due finestre e selezione della finestra 1 (in questo caso la suddivisione è per motivi grafici)	subplot(2,1,1)
Esecuzione del grafico t - v	plot(t,v)
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('t (s)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('v (V)')
Inserimento del titolo	title('Verifica')

Tab. 1

Si consideri la determinazione, per mezzo di MATLAB, dalla DFT di un segnale ad impulso singolo di durata = 5 ms ed ampiezza V = 1 V. Prima di tutto si deve costruire una forma d’onda impulsiva a N punti, la cui durata complessiva può essere, ad es., pari a 20 ms. Calcolata la DFT, si deve costruire un vettore frequenza, avente lo stesso numero di punti della DFT, i cui valori vadano da 0 a f_s, escludendo quest’ultimo punto dato che è incluso il punto 0. Rappresentando graficamente l’intera DFT si ottiene la rappresentazione a bande duplicate; imponendo invece un intervallo sugli assi più ristretto, si ottiene il consueto spettro già considerato in fig. 1.6.

Definizione numero di punti della forma d’onda	N=128;
Definizione della durata della forma d’onda	T=.02;
Definizione di	tau=.005;
Definizione del vettore t a 128 valori tra 0 e T	t=linspace(0,T,N);
Definizione del vettore v	v=1-stepfun(t,tau);
Calcolo della DFT di v	F=fft(v);
Definizione del vettore frequenza f a 128 valori tra 0 e e fs esclusa	f=((0:N-1)/N)*N/T;
Suddivisione della figura in tre finestre e selezione della finestra 1	subplot(3,1,1)
Esecuzione del grafico t - v	plot(t,v)
Cambio di scala sull’asse verticale per assicurare la leggibilità del grafico	axis([-inf inf -inf 1.2])
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('t (s)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('v (V)')
Inserimento del titolo	title('Esempio 1.3')
Selezione della finestra 2	subplot(3,1,2)
Esecuzione del grafico f - modulo della DFT moltiplicata per T/N	plot(f,abs(F*T/N))
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('f (Hz)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('DFT (V/Hz)')
Selezione della finestra 3	subplot(3,1,3)
Esecuzione del grafico f - modulo della DFT moltiplicata per T/N	plot(f,abs(F*T/N))
Cambio di scala sull’asse orizzontale per avere il grafico tra l’origine e il quarto zero della DFT	axis([-inf 4/tau -inf inf])
Inserimento dell’etichetta sull’asse orizzontale	xlabel('f (Hz)')
Inserimento dell’etichetta sull’asse verticale	ylabel('DFT (V/Hz)')

Tab. 2

DFT di segnali codificati con diversi codici di linea

Le caratteristiche essenziali dello spettro dei segnali codificati con diversi codici di linea possono essere ricavate applicando la DFT su forme d’onda costituite da sequenze elementari del codice in esame, anche se in alcuni casi tali caratteristiche dipendono dalla particolare forma d’onda immessa. Nel riquadro sottostante, il primo spettro MLT-3 non presenta componente continua, ben visibile invece nel secondo spettro relativo allo stesso tipo di segnale; anche nel caso del segnale 2B1Q, immettendo una diversa forma d’onda comparirebbe una componente continua.

Tab. 3