Mezzi dispersivi


 

Se in un mezzo in cui si propaga un segnale la velocità di propagazione delle componenti sinusoidali è indipendente dalla frequenza, tutte le componenti del segnale viaggiano alla stessa velocità di fase v che, in questo caso, coincide con la velocità di propagazione del segnale. Se invece la velocità di propagazione varia con la frequenza (mezzo dispersivo), la situazione è più complessa, ed è necessario definire un nuovo parametro che rappresenta la velocità con la quale si propaga il segnale e l’energia ad esso associata. Per esprimere tale parametro, definito velocità di gruppo, considereremo il semplice caso di un segnale composto da due onde sinusoidali progressive di uguale ampiezza e di frequenza leggermente diversa, aventi pertanto velocità di fase diverse:

(1)   y = y1 + y2 = Ysen(k1x - 1t) + Ysen(k2x - 2t)

Sviluppando l’espressione 1 mediante le formule di prostaferesi, e indicando i valori medi dei numeri d’onda e delle pulsazioni rispettivamente con km e m, si ottiene

L’equazione 2 si può interpretare come un’onda sinusoidale progressiva, che si propaga con velocità di fase v = m/km, la cui ampiezza varia da punto a punto secondo la legge

Tale onda è rappresentata in fig. 1. Si noti che l’ampiezza variabile dell’onda, che rappresenta l’inviluppo dell’onda progressiva, è essa stessa un’onda sinusoidale che si propaga nel mezzo con velocità

 
 

Fig. 1

 
La velocità di spostamento dell’inviluppo, diversa da v perché la pulsazione non è proporzionale al numero d’onda, rappresenta la velocità di gruppo dell’onda, ovvero la velocità con la quale si propaga un segnale nel mezzo. Supponiamo infatti di voler comunicare un messaggio al punto di arrivo dell’onda, facendo variare una caratteristica dell’onda 2, e scegliamo, per semplicità, di aumentare l’ampiezza delle due sinusoidi, portandola ad un valore Y’ ; questo cambiamento si rifletterà sull’inviluppo, ovvero sull’espressione 3, facendone cambiare l’ampiezza, e pertanto la sua velocità di propagazione sarà vg.